n! এবং nCr এর মান নির্ণয়

নবম-দশম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - উচ্চতর গণিত দ্বিপদী বিস্তৃতি | - | NCTB BOOK

804

নিচের উদাহরণগুলো লক্ষ করি:

$2 = 2.1, 6 = 3.2.1, 24 = 4.3.2.1!, 120 = 5.4.3.2.1, . . .$

ডানদিকের গুণফলসমূহকে আমরা এখন সংক্ষেপে একটি সাংকেতিক চিহ্নের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি।

$2 = 2.1 = 2!, 6 = 3.2.1 = 3!, 24 = 4.3.2.1 = 4!, 120 = 5.4.3.2.1 = 5! . . . . .$

এখন লক্ষ করি:
$4! = 4.3.2.1 = 4 . (4 - 1) . (4 - 2) . (4 - 3) 5! = 5.4.3.2.1 = 5 . (5 - 1) . (5 - 2) . (5 - 3) . (5 - 4)$

সাধারণভাবে লিখতে পারি, $n! = n (n - 1) (n - 2) (n - 3) . . . . . . . . . . 3 . 2 . 1$ এবং $n!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল (Factorial) $n$ বলা হয়। তদ্রুপ $3!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল তিন, $4!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল চার ইত্যাদি পড়া হয়।

আবার লক্ষ করি:
$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{5.4.3}{1.2.3} = \frac{5.4.3.2.1}{(1.2.3) . (2.1)} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{5!}{3! \times (5 - 3)!}$

$(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{7.6.5.4}{1.2.3.4} = \frac{7.6.5.4.3.2.1}{(1.2.3.4) . (3.2.1)} = \frac{7!}{4! \times 3!} = \frac{7!}{4! \times (7 - 4)!}$

$∴$ সাধারণভাবে আমরা বলতে পারি $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = \frac{n!}{r! (n - r)!}$

ডান পাশের ফ্যাক্টোরিয়ালসমূহকে যে প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় তা হলো,

$(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = \frac{n!}{r! (n - r)!} = {}^{n}C_{r}$

$(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{7!}{4! (7 - 4)!} = {}^{7}C_{4}$ এবং $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{5!}{3! (5 - 3)!} = {}^{5}C_{3}$

সুতরাং, $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = {}^{n}C_{r}$ অর্থাৎ, $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ ও ${}^{n}C_{r}$ এর মান এক।

আমরা জানি $(\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = {}^{n}C_{n} = \frac{n!}{n! (n - n)!} = \frac{n!}{n! (0)!} = \frac{1}{0!} ∴ 1 = \frac{1}{0!},$

অর্থাৎ $0! = 1$

মনে রাখতে হবে

$n! = n (n - 1) (n - 2) . . . . . . . . 3.2.1 (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = {}^{n}C_{r}, {}^{n}C_{r} = 1 (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = {}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r! (n - r)!}, (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) = {}^{n}C_{0} = 1 (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = {}^{n}C_{n} = 1, 0! = 1$
এখন দ্বিপদী উপপাদ্যতে আমরা $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ কে ${}^{n}C_{r}$ দ্বারা প্রকাশ করব।
${(1 + y)}^{n} = 1 + {}^{n}C_{1} y + {}^{n}C_{2} y^{2} + {}^{n}C_{3} y^{3} + . . . . . . . . . + {}^{n}C_{n} y^{n} \Rightarrow {(1 + y)}^{n} = 1 + n y + \frac{n (n - 1)}{2!} y^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3!} y^{3} + . . . . . . . + y^{n}$

এবং অনুরূপভাবে,
${(x + y)}^{n} = x^{n} + {}^{n}C_{1} x^{n - 1} y + {}^{n}C_{2} x^{n - 2} y^{2} + {}^{n}C_{3} x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . + {}^{n}C_{r} x^{n - r} y^{r} + . . . . . . . + {}^{n}C_{n} y^{n} ∴ {(x + y)}^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} y + \frac{n (n - 1)}{1.2} x^{n - 2} y^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{1.2.3} x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . . . . + y^{n}$
লক্ষণীয়: ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n$ এর জন্য
দ্বিপদী বিস্তৃতি ${(1 + y)}^{n}$ এর সাধারণ পদ বা $(r + 1)$ তম পদ $T_{r + 1} = (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) y^{r}$ বা ${}^{n}C_{r} y^{r}$
এখানে, $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ বা ${}^{n}C_{r}$ দ্বিপদী সহগ।
${(x + y)}^{n} = x^{n} + {}^{n}C_{1} x^{n - 1} y + {}^{n}C_{2} x^{n - 2} y^{2} + {}^{n}C_{3} x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . . . . . + {}^{n}C_{n} y^{n} \Rightarrow {(x + y)}^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} y + \frac{n (n - 1)}{1.2} x^{n - 2} y^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{1.2.3} x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . . + y^{n}$
সাধারণ পদ বা $(r + 1)$ তম পদ $T_{r + 1} = (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) x^{n - r} y^{r}$ যেখানে $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ বা ${}^{n}C_{r}$ দ্বিপদী সহগ ।
উদাহরণ ৫. ${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{5}$ কে বিস্তৃত কর।

সমাধান: দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে

${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{5} = x^{5} + {}^{5}C_{1} x^{5 - 1} (- \frac{1}{x^{2}}) + {}^{5}C_{2} x^{5 - 2} {(- \frac{1}{x^{2}})}^{2} + {}^{5}C_{3} x^{5 - 3} {(- \frac{1}{x^{2}})}^{3} + {}^{5}C_{4} x^{5 - 4} {(- \frac{1}{x^{2}})}^{4} + {(- \frac{1}{x^{2}})}^{5} = x^{5} - 5 x^{4} . \frac{1}{x^{2}} + \frac{5.4}{1.2} x^{3} . \frac{1}{x^{4}} - \frac{5.4.3}{1.2.3} x^{2} \frac{1}{x^{6}} + \frac{5.4.3.2}{1.2.3.4} x \frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{10}} = x^{5} - 5 x^{2} + \frac{10}{x} - \frac{10}{x^{4}} + \frac{5}{x^{7}} - \frac{1}{x^{10}}$

Content added || updated By

Genius

n! এবং nCr এর মান নির্ণয়

All Notifications

Promotion